Derivadas

¿Que es una derivada?

La derivada, es una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.

Por lo tanto esta representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

Aplicaciones de las derivadas.

Extremos relativos.


La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.

 

f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.

Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.
La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos.



Extremos absolutos.
Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:

f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.

La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.



Aceleración, concavidad, y la derivada segunda.
Aceleración 

La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición.

Concavidad 

Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava hacia abajo , o viceversa, se llama un punto de inflexión. a un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.



 



Ejemplos.

Extremos relativos.

Sea

f(x) = x² - 2x,   con dominio [0, 4].

Aquí es su gráfica.


Mirando la gráfica, se observa que f tiene:

• Un máximo relativo a (0, 0);
• Un mínimo relativo a (1, - 1);
• Un máximo relativo a (4, 8).

Extremos absolutos.

Sea otra vez

f(x) = x² - 2x,   con dominio [0, 4].

Mirando a sus extremos relativos, observamos que:

• El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto;
• El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto;
• El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto.

Aceleración, concavidad y la derivada segunda.

Aceleración
Si t es tiempo en horas y la posición de un carro en el momento t es s(t) = t³ + 2t² km, entonces:

Velocidad = v(t) = s'(t) = 3t² + 4t km por hora.
Aceleración = a(t) = s" (t) = 6t + 4 km por hora por hora.

Concavidad
Considere f(x) = x³ - 3x, cuya gráfica se ve más abajo.




f"(x) = 6x es negativa cuando x < 0 y positiva cuando x > 0. La gráfica de f es cóncava hacia abajo cuando x < 0 y cóncava hacia arriba cuando x > 0. f tiene un punto de inflexión a x = 0, donde la segunda derivada es 0.